Batterie de l'iPhone

Bonjour,
J'ai bien des soucis avec la batterie de mon iPhone 5. Enfin, plutôt deux gros :
- La batterie se vide très très vite actuellement (suffit que j'ouvre une application genre jeu pour passer de 95% à 20% ... pas pratique pour passer les heures de cours un peu relou !). Est-ce que ça veut forcément dire que Mme Batterie est totalement morte ?

- Par moments, mon téléphone décide de s'éteindre de lui-même, qu'il soit à 4% ou 35% (une fois, il s'est éteint à 65%). Quand je veux le rallumer, il affiche l'icône de batterie vide, avec le câble en bas de l'écran qui indique qu'il veut être branché. Quand je le branche, même écran, mais sans le câble, qui confirme qu'il est bien branché. Et par moments... Il faut que j'attente plus d'une demi-heure pour qu'il se rallume (et il ne se rallume que s'il reste branché tout ce temps). Alors quand il s'éteint alors que la batterie est plutôt vide, je peux comprendre (même si je comprends pas qu'il ait besoin de 40 minutes pour s'allumer alors qu'il est en charge et donc est censé se rallumer aussitôt) ; mais quand il s'éteint à 65% et mets 45min à se rallumer... WTF ?

Pouvez-vous m'aider, svp ? Merci !