Lut !
Si elle est cassée... Des rayures sur les fiches ne devraient pas empêcher les contacts, donc ça ne devrait pas l'empêcher de fonctionner normalement. En revanche, si les "rayures" sont assez importantes pour gêner ou empêcher les contacts, là, ça risque de ne pas le faire. La meilleure solution serait de tester...
Pour transférer les sauvegardes... Aucune technique que je connaisse sans linker, mais bon je connais pas grand chose en NDS en même temps.
En revanche, avec un linker, c'est possible. (j'en ai déjà parlé plus haut), des programmes sont sortis pour pouvoir le faire (oui, on peut executer des programmes non officiels avec un linker...)
Pour réparer ta cartouche... Non, ça ne doit pas être possible. Au mieux, tu pourrais te la faire remplacer par Nintendo (si ils sont vraiment de très très bonne humeur) mais ça ne te rendrait pas ta sauvegarde.
Mais les linker sont, bien que légaux, interdits à la vente en France : Nintendo n'apprécie pas qu'on puisse jouer à des jeux acquis illégalement. Mais rien ne t'oblige de t'en procurer en en commandant sur internet sur un site belge, anglais, suisse... ceci à des fins légales bien entendu (comme copier sa sauvegarde de jeu par exemple...).
Encore un intérêt du linker : lorsque ta cartouche est endommagée, tu peux continuer à jouer ! (ouais, j'fais de la pub mais j'en vends pas.. En fait j'ai même pas de NDS alors ^^)
En espérant avoir répondu à tes questions !