rahim skint
28 nov. 2010 à 17:12
Exercice 1
1. Soit f : R2 ! R2 définie par f(x; y) = (2x 3y; 2x + 3y), montrer que f est bijective.
2. Soit f : R2 ! R2 définie par f(x; y) = (2x 3y; 4x + 6y).
a) L'ensemble f(x; y) 2 R2 j f(x; y) = 0g a-t-il un, une infinité ou aucun élémént ?
b) Montrer que f n'est pas injective.
c) Posons B = f(x; y) 2 R2 j 2x + y = 0g. Montrer que B = f(R).
3. Soient E; F;G des ensembles et f : E ! F, g : F ! G et h : G ! E des applications. On
suppose que h g f est surjective et que les applications g f h et f h g sont injectives.
a) Montrer que h est injective et surjective.
b) Montrer que g f est bijective.
c) Montrer que f; g; h sont des bijections.
4. Soient E un ensemble et f : E ! P(E) une application.
a) Posons A = fx 2 E j x =2 f(x)g. Soit x 2 E, montrer que x 2 f(x) [ A et que
x =2 f(x) \ A. En déduire que f(x) 6= A.
b) Montrer que f n'est pas surjective.
Exercice 2
a) Combien y-a-t-il de relations d'équivalence distinctes sur un ensemble à 3 éléments ?
b) et sur un ensemble à 5 éléments ?
Exercice 3
Pour chacune des relations binaires suivantes, déterminez si ce sont des relations d'équivalence,
et dans ce cas les ensembles quotients :
a) Sur R, xRy , xy > 0,
b) Sur R, xRy , xy > 0,
c) Sur R, xRy , x y 2 Z,
d) Sur R, xRy , x + y 2 Z,
e) Sur Z, xRy , jx yj 2,
f) Sur R
+, xRy , ln(x=y) 2 Z.
Exercice 4 Sur Z Z, on défini deux relations R1, R2 :
(x; y)R1(x0; y0) , (x + x0) 2 2Z; (y + y0) 2 2Z:
(x; y)R2(x0; y0) , (x + x0 + y + y0) 2 2Z:
a) Montrez
