Salut
Ben...
O(x^n), c'est une fonction, cette notation, c'est une des notations de Landau :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Notations_de_Landau
En fait, on note O(x^n) (ici on devrait préciser pour x→+∞), toute fonction f telle que f(x)/x^n est bornée (ici en l'occurrence quand x→+∞).
On note o(x^n) (dans le cas qui nous intéresse, pour x→+∞), toute fonction f telle que lim (f(x)/x^n) = 0 (et donc ici, quand x→+∞).
Ta formule est pas fausse mais on peut la raffiner un peu.
exp(x) = 1 + (x/1!) + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ... + (x^n/n!) + O(x^(n+1))
Ou
exp(x) = 1 + (x/1!) + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ... + (x^n/n!) + o(x^n)
Bref, ici donc, ton O(x^(n+1)) ou ton o(x^n), c'est
(x^(n+1)/(n+1)!) + (x^(n+2)/(n+2)!) + (x^(n+3)/(n+3)!) + ... (jusqu'à +∞)
Parce qu'en fait, la formule que t'as écrite, c'est juste une écriture moins précise de
exp(x) = 1 + (x/1!) + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ... + (x^n/n!) + ... (jusqu'à +∞)
Du coup pour ton programme tu t'en occupes pas trop. Tu choisis un n assez grand et tu calcules ta somme jusqu'à n.
Tu peux améliorer le programme en choisissant le n en fonction de x. En effet, un n qui va te donner des résultats très précis pour un x pas trop grand, va donner des résultats beaucoup moins satisfaisants pour un x plus grand. Du coup, tu peux sommer jusqu'à ce que le premier terme du reste ((x^(n+1)/(n+1)!)) soit inférieur à un petit nombre donné.
Par contre, si tu vas jusqu'à des n relativement grands, pense à utiliser une exponentiation rapide.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_rapide
Sinon ça va ramer...
Et dernière chose, je pense que si t'essaies de calculer l'exponentielle d'un grand nombre de cette manière (Quel sera exactement "grand" ? Ben je sais pas trop...), tu vas rapidement avoir des soucis. En effet, x^n→+∞) (tout au moins pour x > 1) et n!→+∞.
En théorie (x^n/n!)→+0 mais numériquement, tu vas avoir à évaluer le quotient de deux grands nombres et t'auras des erreurs numériques monstrueuses. Et en plus, passé n=170, le résultat du calcul de n! sera tout simplement +∞.
Voilà... Amuse-toi bien ! ;-)
Thought I heard a rumbling, calling to my name
Two hundred million guns are loaded, Satan cries "Take aim!"