Merci pour cette bonne piste.
J'ai fait quelques tests :

<?php
//$id = mysql_connect("localhost", "root", "");

echo "<pre>";
if (!@mysql_ping()) {
    echo "Aucune connexion n'est ouverte.\n";
    echo "Ouverture d'une connexion...\n";
    $id = mysql_connect("localhost", "root", "");
    $fermer_connexion = true;
} else {
    // la connexion existe deja, on ne doit pas la fermer en sortant
    echo "Une connexion était déjà ouverte en début de script.\n";
    $fermer_connexion = false;
}

if (!@mysql_ping()) {
    echo "Connexion inactive !\n";
} else {
    echo "Connexion active.\n";
}

if ($fermer_connexion) {
    echo "Fermeture de la connexion...\n";
    mysql_close($id);
}

if (!@mysql_ping()) {
    echo "Aucune connexion n'est ouverte.\n";
} else {
    echo "La connexion est encore ouverte.\n";
}

echo "</pre>";
?>