Différences finies

Bonjour question
Je n'irais pas jusqu'à dire que je suis bonne en maths-info, je pense que chacun d'entre nous a un petit domaine dans lequel il se distingue un petit plus que les autres - à supposer qu'il se donne la peine d'en avoir un bien sûr-.
Cela fait plaisir de recroiser sur sa route dans ce forum plusieurs fois la même personne.
Que fais-je comme études? Non, ta question ne serait pas indiscrète du tout... si nous n'étions pas sur un forum consultable par la planète entière dont les références si nombreuses sous Google m'ont menée ici ! ;-)

Je ne comprends pas très bien ce que tu entends par schéma unique, ne voulais-tu pas plutôt dire schéma numérique?
Un schéma numérique n'est pas unique ! Il y a plusieurs façons de discrétiser une équation.
Pour répondre à ta question, oui, c'est cela, il faut construire une matrice. En fait pour chaque pas de temps tu as un système linéaire de taille le nombre de points de discrétisation spatiale. Tu mets alors ce système sous forme matricielle. À chaque pas de temps tu as à résoudre ce système.

Quant à la convergence d'un schéma numérique, c'est évidemment une chose à laquelle il faut faire attention si tu veux que la solution de tes équations discrétisées converge bien vers la solution des équations aux dérivées partielles - sinon ça ne sert à rien de discrétiser ! -. Il existe des schémas qui conviendront très bien pour certains types d'EDP et d'autres qui ne conviendront pas.
Pour avoir convergence vers la solution exacte de ton EDP, le théorème de Lax te dit que tu dois avoir consistance et stabilité de ton schéma numérique:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lax

Un schéma numérique est consistant si lorsque tu appliques ton schéma de discrétisation à la solution exacte, il y a bien convergence quand les pas de discrétisation tendent vers 0.
Un schéma numérique est stable si la solution de l'équation discrétisée est bornée. Pour avoir stabilité numérique d'un schéma, le pas de discrétisation en espace et le pas de discrétisation en temps doivent le plus souvent vérifier une condition CFL (Courant-Friedrichs-Lewy):
http://en.wikipedia.org/wiki/Courant%E2%80%93Friedrichs%E2%80%93Lewy_condition

Tu pourras trouver ici des exemples de schémas avec des animations pour l'équation de transport et l'équation de Bürgers - c'est un cours de l'ENSTA -:
http://www-rocq.inria.fr/~haddar/Cours/ENSTA/SIMUL/Transport.html
Tu pourras alors apprécier la convergence de certains schémas mais aussi le défaut de convergence d'autres.

Peut-être ne l'as-tu pas trouvé dans tes recherches, mais ce document pourra t'intéresser:
http://www-rocq.inria.fr/~haddar/Cours/ENSTA/ma201-cours-01.pdf
Il s'agit de nouveau d'un cours de l'ENSTA.

Sinon, pour toutes ces considérations mathématiques - nous sommes très largement sortis du cadre de la programmation ici ! -, tu peux aussi poser tes questions sur un forum plus ciblé théorie, où des personnes seront plus à même de te répondre:
http://www.les-mathematiques.net/
Personnellement je ne connais pas ce forum mais les rares fois où je suis tombée dessus les réponses m'avaient l'air pertinentes.

J'espère avoir répondu au moins un peu à tes interrogations !
Pourquoi ne t'inscris-tu pas sur ce forum? Les deux fois où je t'ai répondu, ton pseudonyme était en grisé...
Je te souhaite une bonne journée et un bon week-end !

Bonsoir question !
Avant-hier je suis intervenue sur le sujet d'une personne qui avait le même pseudonyme que le tien !
Je sais que ce pseudo doit être plutôt courant mais je pose la question à tout hasard : était-ce toi?

Pour la méthode des différences finies, tu trouveras de nombreux cours sur le net, ne me fais pas croire que tu n'as rien trouvé !

Tape par exemple "différences finies" ou "finite difference" sous Google et parcours les liens:
http://www.google.fr/...
http://www.google.fr/search?hl=fr&q=finite+difference&btnG=Rechercher&meta=

Sinon, pour résumer brièvement, si nous nous plaçons en 1D - pour simplifier - et que tu cherches à résoudre une équation différentielle ou aux dérivées partielles, alors tu discrétises l'espace - façon de parler puisque nous sommes en dimension 1 - en utilisant la formule de Taylor.
Pour une équation différentielle du premier ordre f'(x)=F(x,f(x)), si tu veux la résoudre numériquement sur un intervalle [a,b] avec un pas de discrétisation h, pour chaque point de x de la discrétisation tu utilises:
f'(x)≈(f(x+h)-(f(x-h))/(2h) pour un schéma centré
f'(x)≈(f(x+h)-f(x)/h pour un schéma décentré à droite
f'(x)≈(f(x)-f(x-h)/h pour un schéma décentré à gauche

Pour commencer tu peux tout d'abord regarder sur Wikipédia:
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_diff%C3%A9rences_finies
http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference_method

Bonne nuit ! Avec un bon mal de tête... ^_^