Finalement, j'ai trouvé comment procéder avec la console de récupération Windows XP téléchargée sur le net.
Au cas où ça pourrait en aider d'autres :
(1) Télécharger ce fichier :
http://fspsa.free.fr/cdr.zip
(2) Décompresser le fichier pour obtenir une image iso.
(3) Copiez l'image iso sur un cd (attention, il faut choisir une option de gravure comme "copier une image" ou "créer un disque à partir d'une image iso, c'est très important).
(4) Redémarrer l'ordi planté et suivre les instructions pour accéder au menu "BOOT" (F2 ou F12 pour le mien).
(5) Il faut indiquer, par le menu "boot" que l'ordi ne doit plus démarrer à partir du disque dur (HDD), mais à partir du lecteur CD / DVD. Pour y arriver, suivre les instructions qui apparaissent dans votre écran.
(6) Insérer le CD dans votre lecteur et sauvegardez les options dans le menu BOOT. Normalement, l'ordi devrait redémarrer tout seul.
(7) Laisser le CD installer les composantes nécessaires sur l'ordi.
(8) Choisir "R" pour réparer. Tapez le code admin si vous en avez un, sinon faites ENTRÉE. Choisissez le no du volume à vérifier (attention, DOS est configuré en anglais, donc les touches ne sont pas nécessairement au même endroit que sur votre clavier... Pour moi, c'était SHIFT + 1 pour avoir le 1).
(9) Tapez la commande "CHKDSK" pour la faire exécuter.
(10) Si l'ordi ne signale d'erreur, taper "EXIT". Ce qui fera redémarrer l'ordi.
(11) Lors du redémarrage, il faut réaccéder au menu BOOT (F2 ou F12 pour moi) et remettre l'option HDD (disque dur) au lieu de CD / DVD. Normalement, l'ordi devrait redémarrer, vous devriez pouvoir choisir le mode de redémarrage de Windows (sans échec, normal, etc.).
Voilà ce qui a fonctionné pour moi.