Nathalie Van de Wiele - Physique Sup PCSI - Lycée les Eucalyptus - Nice
Série d'exercices 12
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SERIE D'EXERCICES N° 12 : MECANIQUE :
DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
Les grandeurs en caractère gras sont des grandeurs vectorielles. Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen.
Postulat dynamique : point matériel en équilibre.
Exercice 1.
On dispose de deux ressorts linéaires identiques de longueur au repos L . Chacun,
soumis à un poids P0 , prend un allongement l0 , déterminé par leur raideur commune k
. On suspend un poids P0 à l'un des ressorts et on tire horizontalement le poids à l'aide
de l'autre ressort que l'on tire avec une force variable F . Le premier fait alors un angle
a avec la verticale. Pour chaque valeur de a correspondant à une force F , le ressort
(1) prend un allongement l1 et le ressort (2) un allongement l2 .
Calculer les allongements l1 et l2 en fonction de a et l0 .
O
a A B
P0 F
Exercice 2.
Un brin de caoutchouc de longueur 2L non tendu est fixé entre deux points A et B
On admettra que son poids est négligeable et que le brin est horizontal. On accroche
un poids P au milieu O de AB . Sachant que le caoutchouc tendu avec une force F
s'allonge de l tel que F = k l , exprimer P en fonction de k , L et a .
A O B
a
P
Postulat dynamique : point matériel libre.
Exercice 3.
Une voiture, de masse m , roulant rectilignement à la vitesse v0 = v0 i , coupe son moteur à t = 0 et n'est plus soumise, suivant i , qu'à
une force de frottement proportionnelle à la vitesse F = - h v .
1. Ecrire la loi de variation de v en fonction du temps (on fera apparaître la constante de temps t que l'on définira).
2. En déduire l'équation horaire du mouvement.
Exercice 4.
Un corps de masse m flotte sur un liquide de masse volumique r . Sa surface à la ligne de flottaison étant S , calculer la période des
oscillations verticales du système en fonction de m , r , S et g intensité du champ de pesanteur.
On admettra pour simplifier que la surface S reste constante de part et d'autre de la position d'équilibre, sur une longueur supérieure à
l'amplitude des oscillations.
On rappelle que la poussée d'Archimède P est équivalente à une force unique, verticale, dirigée vers le haut, d'intensité égale au
poids du fluide déplacée, s'appliquant en C , centre de poussée (on suppose ici C à la verticale du centre de gravité G ).
Exercice 5.
Une fusée balistique, assimilée à un point matériel M de masse m , est mise à feu à la surface de la Terre, avec une vitesse v0 de valeur
inférieure à la vitesse de satellisation sur une orbite circulaire, faisant un angle a avec l'horizontale (on fera une figure dans le plan de
tir défini par ( g , v0 ) ramené au trièdre (O, i , k ) où i est unitaire suivant l'horizontale et k unitaire suivant la verticale ascendante).
Le champ de pesanteur g est supposé uniforme ( g = 10 m.s-2 ) .
1. On néglige en première approximation la résistance de l'air.
a) Etablir l'équation de la trajectoire.
b) Exprimer la portée OC puis la flèche AH (A point d'altitude maximale, H sa projection sur l'horizontale) en fonction de v0 , a et
g .
A.N. Calculer la portée maximale et la hauteur maximale alors atteinte si v0 = 1 km.s-1 .
c) Ecrire l'équation vérifiée par l'angle de tir a pour que la trajectoire passe par un point B de l'espace de coordonnées (xB , zB ).
A.N. Calculer a pour xB = 73,2 km et yB = 19 ,6 km si v0 a la valeur précédente.
2. On tient comte maintenant de la résistance de l'air, opposée à la vitesse de la fusée : f = -h v avec h constante positive.
Etablir les équations paramétriques x (t) et y (t) du mouvement de M .
Postulat dynamique : point matériel lié.
Exercice 6.
On considère un ressort de raideur k et de longueur au repos l0 , dont les extrémités
sont reliées à un point fixe O et à un point matériel M de masse m . On suppose qu'il
n'existe pas de frottement de glissement sur le plan incliné. Soit un axe Ox sur le plan
incliné (voir la figure).
1. Déterminer l'abscisse xe du point M à l'équilibre en fonction de l0 , m , g , k et a
.
y
O
M (m)
a
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2. A partir de la position d'équilibre M est déplacé d'une distance d comptée algébriquement sur Ox et lâché sans vitesse initiale.
Etablir l'équation horaire x (t) en fonction de d , k , m et xe .
Exercice 7.
1. La figure 1 représente une portion de plan incliné sur l'horizontale d'un angle a . Un chariot de masse m est mobile sans frottement
sur des rails posés parallèlement à une ligne de plus grande pente du plan. Sa position est repérée sur l'axe x'Ox par l'abscisse x de
son centre d'inertie G qui est nulle à l'instant initial. On lance le chariot vers le haut à la vitesse v0 .
Pour quelle valeur de v0 , exprimée en fonction de g , a , a , la vitesse du chariot s'annule-t-elle au point A d'abscis se x = a ?
2. La figure 2 représente le même plan incliné muni d'un dispositif à ressort, poulie et fil, qui permet d'exercer sur le chariot une force de
rappel Fx = - k x , k étant une constante. Le chariot est lancé vers le haut avec la vitesse v'0 , atteint le point B où sa vitesse s'annule
et redescend. Comme précédemment, x = 0 à l'instant initial.
Ecrire et intégrer l'équation différentielle du mouvement (on exprimera l'amplitude et la phase à l'origine en fonction de v'0 , k , m , g et
a ). Pour quelle valeur de v'0 le point B est-il confondu avec le point A (on donnera v'0 en fonction de la pulsation propre w0 , a et
v0 ) ?
x
Figure 1 : x Figure 2 :
a
a x'
x'
Exercice 8.
Une tige tourne dans le plan horizontal xOy autour de son extrémité O à la vitesse angulaire constante w . Sur cette tige, un anneau
M de masse m , peut glisser sans frottement. A t = 0 , l'anneau part de M0 ( OMO = a , q0 = 0 ), sans vitesse initiale par rapport à la
tige .
1. Déterminer la trajectoire de l'anneau en coordonnées polaires par rapport au repère xOy .
2. Déterminer la réaction de la tige sur l'anneau en fonction de a , w , q et g .
Exercice 9.
Un élastique E accroché en B passe en A dans un petit anneau et porte en son
extrémité M une masse ponctuelle pesante m . Soit k la raideur de E , BA sa
longueur au repos. M étant accroché, la position d'équilibre de M se trouve en O .
On pose OA = a .
1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par r = OM .
2. Résoudre , les conditions initiales quelconques étant définies par : t = 0 , r =r0 ,
v = v0 .
z
B
A
M (m)
O y
x
Exercice 10.
Un point matériel M , de masse m , relié à l'origine O par un fil inextensible et sans
masse, décrit dans le sens positif un cercle vertical, de centre O , de rayon r .
1. Quelles sont les tensions TA et TA' lorsque M passe en A avec la vitesse vA et
en A' avec la vitesse vA' ? (on exprimera TA et TA' en fonction de vA , vA' , m , r
et g intensité du champ de pesanteur). Les valeurs trouvées sont-elles toujours
positives ?
2. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par l'angle q que fait OM avec la verticale.
Pour intégrer cette équation, multiplier chaque terme par
d
dt
q pour faire apparaître des
dérivées connues, en déduire l'expression de la vitesse à l'instant t sachant qu'à
l'instant initial q = 0 et v = v0 (on exprimera v2 en fonction de v0 , g , r et q ).
Calculer alors la tension du fil T en fonction de v0 , g , r et q .
3. La vitesse initiale v0 étant donnée, on désigne par qv la valeur de q qui annule
l'expression de v et par qT celle qui annule l'expression de T . Exprimer cos qv puis
cos qT en fonction de v0 , g et r , et tracer les courbes cos qv = f (v0
2) et
cos qT = f (v0
2) . En déduire la nature du mouvement de M suivant la valeur de v0 .
y
A'
O x
q
M (m)
A
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Moment cinétique.
Exercice 11.
Selon le modèle classique d'atome, un électron décrit autour du noyau une orbite circulaire de rayon r , à la vitesse angulaire w
constante, sous l'action d'une force centrale d'origine électrique. Calculer le moment cinétique orbital de l'électron en fonction de la
surface S de l'orbite et du courant équivalent i = e / T (e : charge de l'électron, me : masse de l'électron , T : période de révolution).
Exercice 12.
Un point matériel M , de masse m , lié par un fil inextensible de longueur l à un point
fixe A , tourne avec une vitesse angulaire constante w autour de l'axe Az .
1. a étant l'angle que forme AM avec la verticale, calculer la tension du fil T puis
l'angle a en fonction de m , g , l et w .
2. Calculer en coordonnées cylindriques d'origine O l'expression du moment
cinétique de M par rapport à A .
Vérifier que sa dérivée par rapport au temps est égale au moment par rapport à A de la
résultante des forces appliquées à M .
z
A
a l
O y
q
x M (m)
Force centrale.
Exercice 13.
Montrer que si la trajectoire d'un point soumis à une force centrale est un cercle, le mouvement de ce point est alors uniforme.
Exercice 14.
Un point matériel soumis à une force centrale de centre de force O , décrit une
trajectoire elliptique. En un point M0 son vecteur position est OM0 et sa vitesse v0
avec a = (OM0 , v0 ). Les valeurs extrémales de OM sont r1 et r2 avec r2 > r1 .
Calculer les vitesses de M en ces points en fonction des données.
y
OM0
a
v0
O x
Exercice 15.
Un point matériel M , de masse m , est soumis à une force centrale F =
Km
r 4 r . A l'instant initial t = 0 , le point M se trouve en A de
coordonnées r0 = a et q0 = 0 , la vitesse initiale v0 étant perpendiculaire à OA avec une constante des aires C positive.
Etablir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par r en faisant intervenir C et K .
Formule de Binet.
Exercice 16.
En utilisant la formule de Binet pour l'accélération, trouver la loi de force pour une trajectoire d'équation polaire : r =
p
1+ e cosq
où p
et e sont des constantes.
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Réponses.
Exercice 1.
l1 = l0 / cosa et l2 = l0 tana .
Exercice 2.
P = 2 k L ( tana - sina ) .
Exercice 3.
1) v = v0 e- t / t avec t =
h
m
. 2) x = t v0 ( 1 - e- t / t ) .
Exercice 4.
T = 2 p
S g
m
r
.
Exercice 5.
1.a) z = -
2 v cos ( )
g
2 2
0 a
x2 + tan (a) x . 1.b) OC =
g
v 2
0 sin (2a) et AH =
2 g
v 2 sin 2 ( )
0 a
; OCmax =
g
v 2
0 = 100 km alors
AH = 25 km . 1.c) tan2 (a) -
B
2
0
g x
2 v
tan (a) + ( 1 + 2 B
B
2
0
g x
2 v z
) = 0 donne a1 = 60 ° (tir en cloche) et a2 = 45 ° (tir tendu).
2) x=
h
m
v0 cos (a) (1 - e- h t / m ) et z =
h
m
( v0 sin (a) +
h
m
g ) (1 - e- h t / m ) -
h
m
g t .
Exercice 6.
1) xe = l0 +
k
mg
sin (a) . 2) x = d cos (
m
k t) + xe .
Exercice 7.
1) v0 = 2g a sin(a) . 2) x
m
k
&x& + = - g sin (a) d'où x = Xm cos ( w0 t + j ) -
k
mg
sin (a) avec Xm = 2 2
0 sin( ))
k
mg
(
k
v' m + a et j
= Arctan [ -
g sin( )
k
m
k
v'0 m
a
] ; B confondu avec A pour v'0 = 2
0
2 2
w0 a + v .
Exercice 8.
1) r = a ch (q) ; 2) Rq = 2 m a w2 sh (q) et Rz = m g .
Exercice 9.
1) r r
m
k
&&+ = 0 . 2) r = r0 cos (wt) +
w
v0 sin (wt) (oscillateur spatial).
Exercice 10.
1) TA = m (
r
v 2
A + g ) et TA' = m (
r
v 2
A ' - g ) . 2)
r
g
&q&+ sin (q) = 0 ; v2 = v0
2 + 2 g r ( cos (q) - 1 ) ;
T = m (
r
v 2
0 + g ( 3 cos (q) - 2 )) . 3) cos (qv) = -
2 g r
v 2
0 + 1 et cos (qT) = -
3g r
v 2
0 +
3
2 : mouvement pendulaire pour qv < qT ; fil
détendu pour qT < qv ; mouvement circulaire pour v0
2 > 5 g r .
Exercice 11.
s0 =
e
2 me Si uz .
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Exercice 12.
1) T = m l w2 et cos (a) =
lw2
g (exige w >
l
g ) . 2) sA = m l2 w sin (a) ( cos (a) ur + sin (a) uz ) et
dt
dsA = m l2 w2 sin (a) cos (a) uq .
Exercice 14.
r1 v1 = r2 v2 = C = r0 v0 sin (a) .
Exercice 15.
3
2
0
2
0
3
2
r
r v K
r
C K
r +
=
+
