PC portable s'allume après plusieurs tentatives

Bonjour à tous et à toutes,

Ma belle-mère a un PC portable Asus R510C (voir les caractéristiques techniques ici : https://www.ldlc.com/fiche/PB00151061.html)
La seule différence, c'est que maintenant elle tourne sous Windows 10 et plus sous Windows 8 comme indiqué dans les caractéristiques.
Je pose ma question sur ce forum parce qu'elle a beaucoup de mal à allumer son ordinateur.
En fait, voici ce qui se passe :
Elle appuie sur le bouton Power/on, les petites diodes en bas à gauche s'allument, on entend le ventilo se mettre en route, mais l'écran reste noir.
Comme rien ne se passe, elle garde le doigt appuyé sur le bouton Power/on jusqu'à ce que les diodes s'éteignent puis rappuie
Il faut parfois faire ça 4-5 fois avant qu'enfin l'écran s'allume et qu'on voit Asus s'afficher, puis que Windows 10 démarre.
J'ai moi-même essayé de l'allumer avec différentes techniques : sans batterie (avec uniquement l'adaptateur secteur), avec batterie ET adaptateur secteur, sans adaptateur secteur (avec uniquement la batterie), mais rien n'y change, je n'ai pas plus de succès.
Il faut savoir que le cordon d'alimentation électrique est endommagé à la base de la fiche; il est dénudé sur 4-5 mm et on voit les fils électrique. D'après ce qu'elle m'a dit, un jour elle s'est pris les pieds dans le cordon d'alimentation, mais n'a pas fait tomber l'ordinateur (lui, il est intact).
Je me demande si ça lui a pas fichu un coup (au cordon d'alimentation) => c'est la batterie qui prend la relève => elle tient de moins en moins la charge et en fait, c'est pour ça qu'il faut plusieurs tentatives avant que l'écran s'allume. Il faut le temps à la batterie de se recharger suffisamment pour qu'elle ait assez de puissance pour allumer tout l'ordi (écran compris).
Du coup, j'envisage de lui faire acheter une nouvelle batterie + un nouvel adaptateur secteur.
Est-ce que vous faites le même diagnostic que moi ? Et est-ce que vous me conseillez de lui faire acheter une nouvelle batterie + un nouvel adaptateur secteur ?
Sinon, d'où pensez-vous que vienne ce problème d'allumage ?

D'avance, merci pour vos réponses.
Bonne journée à vous ;-)