Ordinateur Toshiba Satellite P300 s'allume, mais ne démarre plus

Bonjour, ou plutôt bonsoir.
J'ai eu et j'ai encore un problème avec mon ordinateur portable Toshiba Satellite P300-220.
Il y a plus d'un an, l'ordinateur s'éteignait tout seul après une période d'utilisation d'un temps variable (entre quelques minutes et des heures d'utilisation). Et ça a duré longtemps avant que je ne décide d'intervenir (3/4 mois environ)
Dans un premier lieu, j'ai pensé que c'était la batterie. Donc je ne l'ai plus utilisé qu'avec l'alimentation. Toujours le même problème.
Des collègues m'ont conseillé de changer l'alimentation, et c'est vrai qu'elle été défectueuse.
mais ça n'a pas réglé le problème.
On a fini par penser que c'était un problème de surchauffe. Donc j'ouvre la machine, je dépoussière (au purée, ce que ça peut stocker comme poussière, un portable en 3 ans), je change la pâte thermique, et je remonte tout, non sans difficulté (une pensée toute spéciale pour l'ingénieur qui a conçu le petit bout de plastique pour maintenir la nappe du clavier, enfoiré).
Sur les conseilles d'un vendeur d'une boutique informatique de Grenoble (je ne sais pas si je peux citer le nom... mais on la trouve également à Marseille et à Chambéry) je fait un test des pièces avec Ultimate Boot CD pour voir si ça n'est pas un problème de disque dur. Bingo!
Alors, je ne sais pas pourquoi j'ai tout démonté entre temps, mais il m'a fallu trèèèèès longtemps pour remonter le pc portable. Encore mille fois merci à Toshiba pour la nappe du clavier.
Donc concrètement, j'ai acheter un ssd de 128 Go que j'ai formaté avant installation. Je démarre l'ordinateur portable et... les voyants s'allument... l'écran s'allume... on voit le poste, donc je peux sélectionner sur le set up du C-MOS, plus communément appelé BIOS (touche F2 sur Toshiba Satellite P300-220), ou sélectionner sur quoi booter (touche F12).
J'appuie et là!... plus rien.
J'ai beau redémarrer et ré-essayer plusieurs fois F2 ou F12, ça ne change rien.
Please wait et c'est tout, pendant de longues minute.
Alors avant le l'emmener chez un réparateur ou de m'en débarrasser comme "maitre zen" dans la série "noob", je voudrais savoir si quelqu'un a une solution, s'il vous plit, s'il vous plit :ange:
Merci d'avance à tous!!!