/*
Renvoie la valeur approchée de fonctions mathématiques :
Exponentiel, cosinus, sinus hyperbolique, arctan, ...
grâce aux développement limités de ces fonctions.
---
Si quelqu'un trouve comment calculer Tan, TanH, ArcCosH, qu'il
m'envoie un email (haypo@ifrance.com).
---
Programme de Haypo - www.HaypoCALC.com - 28 avril 2001
*/
#include <stdio.h> // printf
#include <math.h> // fabsl
#include <float.h> // DBL_DIG
//=============== DEFINE =======================================================
/* typedef (long double) NombreReel;
#define Abs(a) fabsl(a) */
typedef long NombreEntier; // Utilise long pour les nombres entiers
typedef double NombreReel; // Utiise double pour les nombres rééls
// Valeur absolue d'un nombre réel
NombreReel Abs (NombreReel x)
{
return fabs(x);
}
#define Precision 12 // MAX = 20 en long double
#define PuissancePrecision 1e-12 // =1e-(Precision), MAX = -20 en long double
#define AfficheExemple(A,B) printf (A); printf ("(%.3g) = %.12g\n",x,B(x));
NombreReel Racine (NombreReel x)
{
// Racine(0) = 0 (évite de tourne en rond avec cette algorithme)
if (x==0) return 0;
// Racine(0) = 1 (évite de tourne en rond avec cette algorithme)
if (x==1) return 1;
// Racine(nombre négatif) = i * Racine(abs(nombre négatif)) : ERREUR !
// (ne supporte pas les nombres complexes)
if (x<0) {
printf ("ERREUR Racine : Résultat complexe ... ");
return -1;
}
// Avec la méthode de Newton (x(n+1) = x(n) - f(x)/f'(x)) et la fonction
// f(x)= x^2 - b (b étant le nombre dont on cherche la racine)
// -> f'(x) = 2x, on trouve la suite qui tend vers la racine de b :
// x(n+1) = x(n) - (x(n)^2 - b)/2x(n) = x(n) - x(n)/2 +b/2x(n)
// = (x(n) + b/x(n))/2
NombreReel Racine,SauveX;
// Le nombre dont on cherche la racine
Racine = x;
// Cherche une valeur proche de la racine (x=racine du nombre)
// Pour 2<x, la racine est inférieure à x/2
if (2<x) x /= 2;
SauveX = x+1;
while (PuissancePrecision<Abs(SauveX-x)) {
SauveX = x;
x = (x + Racine/x)/2;
}
return x;
}
//=============== COSINUS-SINUS-TANGENTE =======================================
NombreReel Cos (NombreReel x)
{
NombreReel
ValCosinus,
Xpuissance,Factoriel,i,Quotient;
// COS(x) = 1 -x^3/3! +x^5/5! -x^7/7 +...
ValCosinus = 1; // Premier terme de la suite
x = x*x; // Eleve x au carre (pour acc‚l‚rer le calcul de
// Xpuisscance)
Xpuissance = x; // = x^2, x^4, x^6, x^8, ...
Factoriel = 2; // = 2!, 4!, 6!, 8!, ...
i = 2; // Iteration (utilis‚e pour le calcul du Factoriel)
Quotient = Xpuissance/Factoriel; // Calcule le quotient
do {
ValCosinus = ValCosinus -Quotient; // Soustrait un terme
Xpuissance = Xpuissance*x; // Passe … la puissance suivante (* x^2)
i = i +1; Factoriel = Factoriel*i; // Passe au factoriel suivant
i = i +1; Factoriel = Factoriel*i; // (= *i*(i+1) ) et i=i+2
ValCosinus = ValCosinus +Xpuissance/Factoriel; // Ajoute un terme
Xpuissance = Xpuissance*x; // Passe … la puissance suivante (* x^2)
i = i +1; Factoriel = Factoriel*i; // Passe au factoriel suivant
i = i +1; Factoriel = Factoriel*i; // (= *i*(i+1) ) et i=i+2
Quotient = Xpuissance/Factoriel; // Calcule le quotient
} while (PuissancePrecision<Abs(Quotient));
return ValCosinus;
}
NombreReel Sin (NombreReel x)
{
NombreReel
ValSin,
Xpuissance,Factoriel,i,Quotient;
// SIN(x) = x -x^3/3! +x^5/5! -x^7/7 +...
ValSin = x; // Premier terme de la suite
Xpuissance = x*x*x; // = x, x^3, x^5, x^7, ...
x = x*x; // Eleve x au carre (pour acc‚l‚rer le calcul de
// Xpuisscance)
Factoriel = 6; // = 1!,3!, 5!, 7!, ...
i = 3; // Iteration (utilis‚e pour le calcul du Factoriel)
Quotient = Xpuissance/Factoriel; // Calcule le quotient
do {
ValSin = ValSin -Quotient; // Soustrait un terme
Xpuissance = Xpuissance*x; // Passe … la puissance suivante (* x^2)
i = i +1; Factoriel = Factoriel*i; // Passe au factoriel suivant
i = i +1; Factoriel = Factoriel*i; // (= *i*(i+1) ) et i=i+2
ValSin = ValSin +Xpuissance/Factoriel; // Ajoute un terme
Xpuissance = Xpuissance*x; // Passe … la puissance suivante (* x^2)
i = i +1; Factoriel = Factoriel*i; // Passe au factoriel suivant
i = i +1; Factoriel = Factoriel*i; // (= *i*(i+1) ) et i=i+2
Quotient = Xpuissance/Factoriel; // Calcule le quotient
} while (PuissancePrecision<Abs(Quotient));
return ValSin;
}
NombreReel Tan (NombreReel x)
{
NombreReel
ValSin,ValCos,
Xpuissance,Factoriel,i,Quotient;
// TAN(x) = SIN(x)/COS(x)
// x -x^3/3 +x^5/5 -x^7/7 +x^9/9 - ...
// = -------------------------------------
// 1 -x^2/2 +x^4/4 -x^6/6 +x^8/8 - ...
ValCos = 1; // Premier terme de la suite de cosinus
ValSin = x; // Premier terme de la suite de sinus
Xpuissance = x*x; // = x^2, x^3, x^4, x^5, ...
Factoriel = 2; // = 2!, 3!, 4!, 5!, ...
i = 2; // Iteration : 2,3,4,5,6,...
Quotient = Xpuissance/Factoriel; // Calcule le quotient
do {
ValCos = ValCos -Quotient; // Soustrait un terme
Xpuissance = Xpuissance*x; // Passe … la puissance suivante (* x^2)
i = i +1; Factoriel = Factoriel*i; // Passe au factoriel suivant
ValSin = ValSin -(Xpuissance/Factoriel); // Soustrait un terme
Xpuissance = Xpuissance*x; // Passe … la puissance suivante (* x^2)
i = i +1; Factoriel = Factoriel*i; // Passe au factoriel suivant
ValCos = ValCos +(Xpuissance/Factoriel); // Ajoute un terme
Xpuissance = Xpuissance*x; // Passe … la puissance suivante (* x^2)
i = i +1; Factoriel = Factoriel*i; // Passe au factoriel suivant
ValSin = ValSin +(Xpuissance/Factoriel); // Ajoute un terme
Xpuissance = Xpuissance*x; // Passe … la puissance suivante (* x^2)
i = i +1; Factoriel = Factoriel*i; // Passe au factoriel suivant
Quotient = Xpuissance/Factoriel; // Calcule le quotient
} while (PuissancePrecision<Abs(Quotient));
return ValSin/ValCos;
}
//=============== EXPONENTIEL ==================================================
NombreReel Exp (NombreReel x)
{
NombreReel
ValExp,
Xpuissance,q,f,i;
// EXP(x) = x^0/0! +x^1/1! +x^2/2! +x^3/3! +... +x^i/i!
ValExp = 1; // Premier terme de la suite
Xpuissance = x;
f = 1;
i = 1;
q = Xpuissance/f;
do {
ValExp = ValExp +q;
Xpuissance = Xpuissance*x;
i = i +1;
f = f*i;
q = Xpuissance/f;
} while (PuissancePrecision<Abs(q));
return ValExp;
}
NombreReel Ln (NombreReel x)
{
NombreReel
ValLn,
Xpuissance,q,f,i;
bool
Resultat Oppose;
// LN(1+x) = (0<x<=1)
// x
// -x^2/2
// +x^3/3
// -x^4/4
// +x^5/5
// -...
// ln(1)=0 !
if (x==1) return 0;
// x<0 ?
if (x<=0) {
printf ("La fonction LN n'est pas definie sur ]-inf,0] !\n");
return 0;
}
// 1<x ? Calcule -ln(1/x) dans ce cas là
if (1<x) {
x = 1/x;
ResultatOppose = true;
} else ResultatOppose = false;
// On calcule Ln(1+x), donc on fait -1
x--;
// Initialise les variables
ValLn = 0;
Xpuissance = x; // x,x^2,x^3,x^4,...
i = 1;
q = Xpuissance/i;
do {
ValLn += q;
Xpuissance *= x;
i++;
ValLn -= Xpuissance/i;
Xpuissance *= x;
i++;
q = Xpuissance/i;
} while (PuissancePrecision<Abs(q));
if (ResultatOppose)
return (-ValLn);
else
return ValLn;
// return ResultatOppose? -ValLn:ValLn;
}
//=============== ARCSIN, ARCCOS, ARCTAN =======================================
NombreReel ArcSin (NombreReel x)
{
NombreReel
ValArcSin,k,xp,q;
NombreEntier si1,si2;
// ArcSin (x) =
// x
// +x^3/3* (1/2)
// +x^5/5* (1*3)/(2*4)
// +x^7/7* (1*3*5)/(2*4*6)
// +...
ValArcSin = x;
k = 1;
xp = x;
si1 = 1;
si2 = 2;
x = x*x; // Eleve x au carr‚
q = 1;
do {
k = k*si1/si2;
si1 += 2;
si2 += 2;
xp = xp*x;
q = xp*k/si1;
ValArcSin = ValArcSin +q;
} while (PuissancePrecision<Abs(q));
return ValArcSin;
}
NombreReel ArcCos (NombreReel x)
{
// ArcCos(x) = pi/2 -ArcSin(x)
return M_PI/2 -ArcSin(x);
}
NombreReel ArcTan (NombreReel x)
{
NombreReel
ValArcTan,
Xpuissance,Denominateur,Quotient;
// ARCTAN(x) = x -x^3/3 +x^5/5 -x^7/7 +...
// --> POUR 0 <= x < 1
if (1<=x) {
printf (" <-OVERFLOW-> ");
return 0;
}
// Initialise les variables
ValArcTan = 0; // Premier terme de la suite
Xpuissance = x; // = x, x^3, x^5, x^7, ...
Denominateur = 1; // = 1, 3, 5, 7, ...
Quotient = Xpuissance/Denominateur; // Quotient des deux
x = x*x; // Eleve x au carre (pour optimiser le calcul de Xpuissance
// S'arrête quand on a atteind une précision suffisante
do {
ValArcTan = ValArcTan +Quotient;// Ajoute un terme
Xpuissance = Xpuissance*x; // Passe … la puissance suivante (* x^2)
Denominateur = Denominateur+2; // Passe au d‚nominateur suivant (+ 2)
ValArcTan = ValArcTan -Xpuissance/Denominateur; // Soustrait un terme
Xpuissance = Xpuissance*x; // Passe … la puissance suivante (* x^2)
Denominateur = Denominateur+2; // Passe au d‚nominateur suivant (+ 2)
Quotient = Xpuissance/Denominateur; // Calcule le quotient
} while (PuissancePrecision<Abs(Quotient));
// Renvoi la valeur de l'arctan(x)
return ValArcTan;
}
//=============== COSH, SINH, TANH =============================================
NombreReel CosH (NombreReel x)
{
NombreReel
ValCosH,
Xpuissance,Factoriel,i,Quotient;
// COSH(x) = 1/2*(exp(x)+exp(-x))
// = 1 +x^2/2! +x^4/4! +...
ValCosH = 1; // Premier terme de la suite
x = x*x; // Eleve x au carre (pour acc‚l‚rer le calcul de
// Xpuisscance)
Xpuissance = x; // = x^2, x^4, x^6, x^8, ...
Factoriel = 2; // = 2!, 4!, 6!, 8!, ...
i = 3; // Iteration = 3, 5, 7, 9, ...
Quotient = Xpuissance/Factoriel; // Calcule le quotient
do {
ValCosH = ValCosH +Quotient; // Ajoute un terme
Xpuissance = Xpuissance*x; // Passe … la puissance suivante (* x^2)
Factoriel = Factoriel*i*(i+1);
i = i +2; // Passe au factoriel suivant
Quotient = Xpuissance/Factoriel; // Calcule le quotient
} while (PuissancePrecision<Abs(Quotient));
return ValCosH;
}
NombreReel SinH (NombreReel x)
{
NombreReel
ValSinH,
Xpuissance,Factoriel,i,Quotient;
// SINH(x) = 1/2*(exp(x)-exp(-x))
// = x +x^3/3! +x^5/5! +...
ValSinH = x; // Premier terme de la suite
Xpuissance = x*x*x; // = x^3, x^5, x^7, x^9, ...
x = x*x; // Eleve x au carre (pour acc‚l‚rer le calcul de
// Xpuisscance)
Factoriel = 6; // = 3!, 5!, 7!, 9!, ...
i = 4; // Iteration = 3, 5, 7, 9, ...
Quotient = Xpuissance/Factoriel; // Calcule le quotient
do {
ValSinH = ValSinH +Quotient; // Ajoute un terme
Xpuissance = Xpuissance*x; // Passe … la puissance suivante (* x^2)
Factoriel = Factoriel*i*(i+1);
i = i +2; // Passe au factoriel suivant
Quotient = Xpuissance/Factoriel; // Calcule le quotient
} while (PuissancePrecision<Abs(Quotient));
return ValSinH;
}
NombreReel TanH (NombreReel x)
{
// TanH(x) = SinH(x)/CosH(x)
// Désolé, j'ai pas trouvé mieux pour l'instant
return SinH(x)/CosH(x);
}
//=============== ARCCOSH, ARCSINH, ARCTANH ====================================
NombreReel ArcCosH (NombreReel x)
{
// ArcCosH(x) = Ln(x+Racine(x^2-1)), tout simplement !
x += Racine(x*x-1);
return Ln(x);
}
NombreReel ArcSinH (NombreReel x)
{
NombreReel
ValArcSinH,Rapport,XPuissance,Total;
NombreEntier
Impair,Pair;
// ArcSinH (x) =
// x
// -x^3/3* (1/2)
// +x^5/5* (1*3)/(2*4)
// -x^7/7* (1*3*5)/(2*4*6)
// +...
XPuissance = x*x*x;
ValArcSinH = x-XPuissance/6;
Rapport = (NombreReel)(1*3)/(2*4); // = (1*3)/(2*4), (1*3*5)/(2*4*6), (1*3*5*7)/(2*4*6*8),...
Impair = 5; // = 5, 7, 9, 11, ...
Pair = 6; // = 6, 8, 10, 12, ...
x= x*x; // Eleve x au carr‚
XPuissance = XPuissance*x; // Xpuissance = x^5, x^7, x^9, ...
Total = XPuissance/Impair*Rapport;
do {
ValArcSinH = ValArcSinH +Total;
Rapport = Rapport*Impair/Pair;
Impair += 2;
Pair += 2;
XPuissance = XPuissance*x;
ValArcSinH = ValArcSinH -XPuissance/Impair*Rapport;
Rapport = Rapport*Impair/Pair;
Impair += 2;
Pair += 2;
XPuissance = XPuissance*x;
Total = XPuissance/Impair*Rapport;
} while (PuissancePrecision<Abs(Total));
return ValArcSinH;
}
NombreReel ArcTanH (NombreReel x)
{
NombreReel
ValArcTanH,XPuissance,Quotient;
NombreEntier d;
// ARCTANH(x) = 1/2* ln( (1+x)/(1-x) )
// = x +x^3/3 +x^5/5 +x^7/7 +...
if ((x<=-1) || (1<=x)) {
printf ("x doit appartenir à ]-1,1[ !!!\n");
return 0;
}
ValArcTanH = x;
XPuissance = x*x*x;
x= x*x; // Eleve x au carr‚
d = 3;
Quotient = XPuissance/d;
do {
ValArcTanH = ValArcTanH +Quotient;
XPuissance = XPuissance*x;
d += 2;
Quotient = XPuissance/d;
} while (PuissancePrecision<Abs(Quotient));
return ValArcTanH;
}
//=============== ARCCOSH, ARCSINH, ARCTANH ====================================
//=============== ARCCOSH, ARCSINH, ARCTANH ====================================
int main(int argc, char* argv[])
{
NombreReel x,e;
printf (">>> Precision = %u (=nombre de chiffres significatifs) <<<\n\n",Precision);
x = 1; AfficheExemple ("Exp",Exp);
x = 2; AfficheExemple ("Exp",Exp);
x = 2; AfficheExemple ("Ln",Ln);
x = 3; AfficheExemple ("Ln",Ln);
printf ("\n");
getchar ();
// --------------------------------------------
x = 0.123; AfficheExemple ("Cos",Cos);
x = 0.456; AfficheExemple ("Cos",Cos);
x = 0.789; AfficheExemple ("Cos",Cos);
printf ("\n");
x = 0.123; AfficheExemple ("Sin",Sin);
x = 0.456; AfficheExemple ("Sin",Sin);
x = 0.789; AfficheExemple ("Sin",Sin);
printf ("\n");
x = 0.123; AfficheExemple ("Tan",Tan);
x = 0.456; AfficheExemple ("Tan",Tan);
x = 0.789; AfficheExemple ("Tan",Tan);
printf ("\n");
getchar ();
// --------------------------------------------
x = 0.123; AfficheExemple ("ArcCos",ArcCos);
x = 0.456; AfficheExemple ("ArcCos",ArcCos);
x = 0.789; AfficheExemple ("ArcCos",ArcCos);
printf ("\n");
x = 0.123; AfficheExemple ("ArcSin",ArcSin);
x = 0.456; AfficheExemple ("ArcSin",ArcSin);
x = 0.789; AfficheExemple ("ArcSin",ArcSin);
printf ("\n");
x = 0.123; AfficheExemple ("ArcTan",ArcTan);
x = 0.456; AfficheExemple ("ArcTan",ArcTan);
x = 0.789; AfficheExemple ("ArcTan",ArcTan);
printf ("\n");
getchar ();
// --------------------------------------------
x = 0.123; AfficheExemple ("CosH",CosH);
x = 0.456; AfficheExemple ("CosH",CosH);
x = 0.789; AfficheExemple ("CosH",CosH);
printf ("\n");
x = 0.123; AfficheExemple ("SinH",SinH);
x = 0.456; AfficheExemple ("SinH",SinH);
x = 0.789; AfficheExemple ("SinH",SinH);
printf ("\n");
x = 0.123; AfficheExemple ("TanH",TanH);
x = 0.456; AfficheExemple ("TanH",TanH);
x = 0.789; AfficheExemple ("TanH",TanH);
printf ("\n");
getchar ();
// --------------------------------------------
x = 0.123; AfficheExemple ("ArcCosH",ArcCosH);
x = 0.456; AfficheExemple ("ArcCosH",ArcCosH);
x = 0.789; AfficheExemple ("ArcCosH",ArcCosH);
printf ("\n");
x = 0.123; AfficheExemple ("ArcSinH",ArcSinH);
x = 0.456; AfficheExemple ("ArcSinH",ArcSinH);
x = 0.789; AfficheExemple ("ArcSinH",ArcSinH);
printf ("\n");
x = 0.123; AfficheExemple ("ArcTanH",ArcTanH);
x = 0.456; AfficheExemple ("ArcTanH",ArcTanH);
x = 0.789; AfficheExemple ("ArcTanH",ArcTanH);
printf ("\n");
getchar();
// Racine carré
x = 2; AfficheExemple ("Racine",Racine);
x = 3; AfficheExemple ("Racine",Racine);
x = 4; AfficheExemple ("Racine",Racine);
printf ("\n");
// Calcul de PI
printf ("PI = %.12g (= ArcTan(1/2)+ArcTan(1/3))\n",(4*(ArcTan ((NombreReel)1/2)+ArcTan((NombreReel)1/3))));
getchar ();
return 0;
}
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