Sans changer de page, c'est impossible : le PHP est exécuter sur le serveur et seul ce qui a été généré sur le serveur est envoyé. Pour mieux comprendre, regarde le code source de ta page depuis ton navigateur : c'est tout ce dont il disposent.

Par exemple :

<form method="post" action="page_cible.php" id="formConnexion">
    ...
</form>
<a href="#" id="showFormConnexion">Afficher le formulaire</a>

<script type="text/javascript">
window.onload = function() {
    var formulaire = document.getElementById('formConnexion');
    var lien = document.getElementById('showFormConnexion');
    
    lien.onclick = function() {
        formulaire.style.display = 'block';
        return false;
    };
};
</script>